Das RSA-Kryptosystem ist ein typischer Vertreter der sog. asymmetrischen Kryptosysteme. Diese Art von Verschlüsselungen entstanden aus der Notwendigkeit des Schlüsselaustauschs bei den symmetrischen Kryptosystemen.

Der RSA-Algorithmus ist heutzutage einer der bedeutendsten Algorithmen in der Datensicherheit. Internet, Intranet, Mobilfunk, Homebanking oder Geldkarte - Einsatzgebiete finden sich zur Genüge

Im bereitliegenden PDF-Dokument wird nicht nur die Theorie des RSA-Kryptosystems entwickelt, es werden auch Hinweis auf die praktische Anwendung gegeben.

Folgende Themen werden im einzelnen behandelt:

• Allgemeines über Kryptosysteme: Vorteile und Nachteile von symmetrischen und asymmetrischen (Public-Key) Kryptosystemen.
• Hybridverfahren (Mischsysteme)
• Public-Key-Kryptosysteme: öffentlicher und privater Schlüssel.
• Grundlagen der Arithmetik und Zahlentheorie:
  Lemma (Vielfachsummendarstellung) von Bézout, Satz vom modularen Inversen, Teilbarkeit, Modulo, Restklassenring, Primzahl, zusammengesetzte Zahl, Primzahlsatz, größter gemeinsamer Teiler (ggT), (erweiterter) euklidischer Algorithmus.
• phi-Funktion, multiplikative Funktion
• Satz von Euler, Kleiner Satz von Fermat, RSA Satz

Um die Theorie hinter der Partialbruchzerlegung nachvollziehen zu können, benötigt man Kenntnisse aus dem Bereich der Algebra. Die Irreduzibilität von Polynomen über dem reellen bzw. komplexen Körper ist dabei von besonderer Bedeutung. Ferner sind das Lemma von Bezout, sowie der euklidische Algorithmus für Polynome wichtige Werkzeuge für die Beweisführung.

Im Einzelnen werden behandelt:

• Algebraische Grundlagen:
  Polynom-Division mit Rest, euklidische Algorithmus, Bezout, Fundamentalsatz der Algebra, teilerfremde, normierte und konstante Polynome, reduzibel und irreduzibel, Zerlegung von Polynomen und Nullstellen von Polynomen
• Definition Partialbruch
• reeller Ansatz und komplexer Ansatz
• Koeffizientenmethode, Einsetzungsmethode

Dabei ist ein Binom (bi- kommt vom lat. bini = je zwei) eine Summe oder eine Differenz von je zwei Gliedern a und b, also entweder (a+b) oder (a-b). Die Qualitäten der binomischen Formeln erkennt man insbesondere bei der Lösung von Gleichungen und dem Vereinfachen von Brüchen und Wurzeltermen.

Im Folgenden PDF-Dokument werden nicht nur die binomischen Formeln und Ihre Anwendungen behandelt. Der Leser findet von der quadratischen Ergänzung hin zur Herleitung und dem Beweis der allgemeinen Lösungsformel einer quadratischen Gleichung viele interessante Aspekte rund ums Binom

Im Einzelnen werden behandelt:

• Die drei binomischen Formeln
• Beispiele zur Anwendung
• Verallgemeinerungen der binomischen Formeln
• Der Binomialkoeffizient und der binomische Lehrsatz
• Pascalsche Dreieck und der Binomialkoeffizient
• Pascalsche Dreieck und der binomische Lehrsatz
• Herleitung und Beweis der Lösung einer „vermischten“ quadratischen Gleichung

'Teile und herrsche' steht für das Prinzip, die eigenen Gegner gegeneinander auszuspielen und deren Uneinigkeit zum eigenen Zwecke und Nutzen zu verwenden. Alles also nach dem Motto: Wenn zwei sich streiten freut sich der Dritte.

In der Informatik bezeichnet man eine bedeutende Problemlösungsstrategie mit dem englischen Analogon 'Divide and Conquer'. Auch hier wird (das gestellte Problem) geteilt und in gewisser Art und Weise anschließend (über das 'besiegte' Problem) geherrscht. Allerdings enden an dieser Stelle die Gemeinsamkeiten auch schon.

Das 'Divide and Conquer'-Prinzip versucht ein gestelltes Problem P der Größe n in zwei Teilprobleme P₁ und P₂ zu zerlegen (divide-Schritt). Diese Teilung führt man solange durch, bis die Problemlösung trivial, offensichtlich oder zumind. wesentlich vereinfacht wird. Die eigentliche Aufgabe besteht also letztlich darin, die Lösungen der Teilprobleme P₁ und P₂ zu einer -umfassenden- Lösung des Gesamtproblems zusammenzufassen (conquer-Schritt).

Ein Paradebeispiel für das Paradigma des 'Divide and Conquer' ist der im Durchschnitt schnellste Sortieralgorithmus überhaupt: Der Quicksort!

Das folgende Bild (Quelle: FH Flensburg) illustriert die Vorgehensweise eines Quicksorts angewendet auf eine (abbrechende) Folge aus dem Körper IF₂={0,1}.
Im ersten Schritt wird die zu sortierende Folge a in zwei Teilfolgen b und c zerlegt, so dass alle Elemente der ersten Teilfolge b kleiner oder gleich allen Elementen der zweiten Teilfolge c sind (divide).

• 1. Fall: Der Nominativ, "Wer-Fall"
• 2. Fall: Der Genitiv, "Wessen-Fall"
• 3. Fall: Der Dativ, "Wem-Fall"
• 4. Fall: Der Akkusativ, "Wen-Fall"