Existiert eine Untergruppe H einer Gruppe G, so ist nach dem Satz von Lagrange die Ordnung von H ein Teiler der Gruppenordnung G. Leider kann man jedoch im Allgemeinen nicht von der Gruppenordnung und deren Teiler auf die Existenz entsprechender Untergruppen schließen.

Schränkt man jedoch die Voraussetzungen ein, so kann man in der Tat die Existenz gewisser Untergruppen mit entsprechender Ordnung nachweisen. Dies ist die Hauptaussage des ersten Sylowsatzes. Der zweite Sylowsatz gibt darüber Auskunft welche Struktur diese speziellen Untergruppen einnehmen (sie liegen alle auf einer Bahn bzw. sind Teilmenge von p-Sylow-Gruppen). Schließlich gibt der letzte und damit dritte Sylow-Satz Auskunft über die Anzahl von p-Sylow-Gruppen.

Um diese für die Gruppentheorie sehr bedeutenden Sylowsätze beweisen zu können, benötigt man Wissen zu so genannten Gruppenoperationen. Das ist quasi eine "Standpunktwechsel" des Satzes von Cayley. Am Ende des bereitgestellten Dokuments werden wir uns noch zwei typische Anwendungsbeispiele der Sylowsätze näher betrachten.

Im Einzelnen werden behandelt:

• Operationen von Gruppen auf nicht leeren Mengen, Satz von Cayley, Motivation und Ausgangspunkt, Linkstranslation, Linksmultiplikation, Gruppenhomomorphismus, symmetrische Gruppe
• Definition Gruppenoperation, G operiert auf X, Abbildung (Gruppenoperation) mit Eigenschaften, Beispiele: triviale Operation, Gruppe G operiert auf sichselbst durch Linksmultiplikation, Permuationsgruppe S(X) operiert auf X.
• Charakterisierung der Gruppenoperation, G operiert auf X genau dann, wenn ein Homomorphismus von G nach S(X) existiert. Beweise, Äquivalenzrelation, Nebenklassen, Aufteilung in disjunkte Klassen bzw. disjunkte Bahnen/Orbite, Vergleich mit Faktorräumen
• Diversen Versionen der Bahnengleichung, Vertretersystem/Repräsentantensystem, Fixpunktmenge, Fixpunkte, Fixpunktsatz, Beispiele, Stabilisator/Isotropie-Gruppe, Stabilisator ist eine Untergruppe, Untergruppen H von G operieren auf der Gruppe G durch Linksmulitplikation, verallgemeinerte Herleitung des Satzes von Lagrange, Anwendung der Bahnengleichung, Bahnlänge entspricht dem Index der Isotropie-Gruppe.
• Konjugation, Operation durch innere Automorphismen, Beispiele, spezielle Isotropie-Gruppe, Zentralisator, Normalisator, Klassen Konjugierter, Zentrum, Klassengleichung, nicht triviales Zentrum, diverse Beweise.
• Sätze von Sylow mit ausführlichen Beweisen, alternierenden Gruppen, Hilfssatz aus der Zahlentheorie, Binomialkoeffizient, erster Sylowsatz, zweiter Sylowsatz, dritter Sylowsatz, Beispiele, Satz von Cauchy; ist H eine Untergruppe von G, die eine p-Gruppe ist, so ist H in einer zu P konjugierten p-Sylow-Gruppe enthalten; alle p-Sylow-Gruppen sind konjugiert zueinander, isomorph
• p-Gruppe, p-Sylow-Gruppe, p-Sylow-Gruppen und Normalteiler, elementeweise vertauschbar, Durchschnitt {e}
• Jede Gruppe der Ordnung 15 ist zyklisch, Gruppen der Ordnung 12

Zur genauen Beschreibung einer endlichen Gruppe gehören insbesondere Aussagen über ihre Untergruppen, vor allem wird man nach Existenz und Eigenschaften von Untergruppen vorgegebener Ordnung fragen. Existiert eine Untergruppe H einer Gruppe G, so ist nach dem Satz von Lagrange die Ordnung von H ein Teiler der Gruppenordnung G.

Sei G eine Gruppe von Ordnung n und sei T die Menge der positiven Teiler von n, dann existiert im Allgemeinen nicht für jedes t aus T eine Untergruppe H von G. Schränkt man jedoch die Voraussetzungen ein, so kann man in der Tat die Existenz gewisser Untergruppen mit entsprechender Ordnung nachweisen. Dies ist die Hauptaussage des ersten Sylowsatzes. Der zweite Sylowsatz gibt darüber Auskunft welche Struktur diese speziellen Untergruppen einnehmen (sie liegen alle auf einer Bahn bzw. sind Teilmenge von p-Sylow-Gruppen). Schließlich gibt der letzte und damit dritte Sylow-Satz Auskunft über die Anzahl von p-Sylow-Gruppen.

Um diese für die Gruppentheorie sehr bedeutenden Sylowsätze beweisen zu können, benötigt man Wissen zu so genannten Gruppenoperationen. Das ist quasi eine „Standpunktwechsel“ des Satzes von Cayley. Am Ende des bereitgestellten Dokuments werden wir uns noch zwei typische Anwendungsbeispiele der Sylowsätze näher betrachten.

Im Einzelnen werden behandelt:

• Zusammenhang zwischen der Existens von Homomorphismen und Gruppenoperationen im Kontext des Satzes von Cayley
• Linksmultiplikation, Linkstranslation, Verbindung zur Darstellungstheorie
• Gruppenoperationen: Definition und Beispiele (triviale Operation, Linksmultiplikation, symmetrische Gruppe)
  
• Bahn, Orbit, Stabilisator, Isotropie-Gruppe, Bahnengleichung, Beispiele und grundlegene Eigenschaften
  
• Fixpunktsatz, Fixpunktmenge, Konjugation als Gruppenoperation, Eigenschaften, Zentralisator, Normalisator, abelsche Gruppen, Klassengleichung
  
• Erster Satz von Sylow, Beweis, Beispiele, Satz von Cauchy
• p-Gruppen, p-Sylow-Gruppen, Bahnen und p-Gruppen
• Zweiter Sylowsatz, Bahnen und p-Sylow-Gruppen
• Dritter Sylowsatz, Anzahl von p-Sylow-Gruppen, Teilereigenschaften
• Anwendungen der Sylowsätze, z.B. jede Gruppe der Ordnung 15 ist zyklisch
  

Körpererweiterungen sind ein wesentlicher Bestandteil der Körpertheorie; diese ist wiederum der Algebra zugeordnet. Die klassische Aufgabe der Algebra ist es Gleichungen der Form a_nXⁿ+a_n-1X^n-1 + ... + a₁X¹ + a₀X⁰ = 0 zu lösen. Dies ist sicher eine recht konkrete und naheliegende Frage. Im Laufe einer jahrhundertelangen Entwicklung hat sich herausgestellt, dass dies eine überaus schwierige Aufgabe ist, und dass ein gewaltiger begrifflicher und theoretischer Aufwand notwendig ist, um sie einigermaßen zu beantworten.

Die Körpererweiterungen L:K stellen einen ersten großen Schritt in diese Richtung dar. Die Galois-Theorie löst das gestellte Problem in aller Allgemeinheit und die Körpererweiterungen bilden sozusagen eine Vorstufe zur Theorie von Evariste Galois.

Im Einzelnen werden behandelt:

• Primringe und Primkörper, Abbildung zwischen Ringen (Ringhomomorphismus, Bild ist ein Unterring), (positive) Charakteristik, kleinste Unterring, kleinste Unterkörper, Existenz eines Monomorphismus, Kern, Form der Ideale im Ring der ganzen Zahlen Z, Integritätsbereich bzw. Integritätsring, Q und F_p sind bis auf Isomorphie die einzigen Primkörper
• Körperhomomorphismus, Eindeutigkeit der neutralen Elemente (0,1) und der Inversen, jeder Körperhomomorphismus ist injektiv
• Definition Erweiterungskörper, Körpererweiterung, Oberkörper, Unterkörper, Teilkörper, Zwischenkörper, L:K, L/K, L|K, Beispiele
• System von Unterkörpern, Jede Körpererweiterung L:K (jeder Zwischenkörper) besitzt denselben Primkörper
• Erweiterungskörper ist eine natürlicher Vektorraum, Basis, linear unabhängig, (Skalar-)Multiplikation, endliche Erweiterung, einfache Erweiterung, quadratische Erweiterung
• Charakterisierung der Adjunktion, Adjunktion endlicher Mengen, einfache Körpererweiterung.
• K[X]/(f(X)) bildet einen K-Vektorraum mit Dimension Grad(f)=n, Jeder Körper ist Vektorraum über seinem Primkörper
• Gradsatz, Beweis, Folgerungen daraus, C:R hat keine echten Zwischenkörper
• Adjunktion, kleinster Körper, einfache Körpererweiterung, primitives Element
• Sätze über endliche Erweiterungen
• Algebraische Zahl, Minimalpolynom p(X) von a: irreduzibel, algebraische Zahl, Grad, Teiler, Polynom kleinsten Grades, so dass p(a)=0, Einsetzungshomomorphismus, Substitutionshomomorphismus, Kern des Einsetzungshomomorphismus ist ein Hauptideal - dieses wird vom Minimalpolynom erzeugt,
• Jede endliche Erweiterung ist algebraisch
• Menge aller Einsetzungen, Bild des Einsetzungshomomorphismus = K[a], Isomorph zur Adjunktion mit a, also K[a]~K(a), wenn a algebraisch ist, K-Isomorphismus
• Transzendente Körpererweiterrung, Vektorraum ist unendlich-dimensional, K[a] ist isomorph zum Polynomring K[T], Homomorphiesatz, unendlich viele Zwischenkörper
• Menge aller algebraischen Zahlen eines Körpers K, algebraischer Abschluss, Beispiel, Körpereigenschaften

Die Wahrscheinlichkeits-Theorie (=: W-Theorie) ist ein Teilgebiet der Mathematik, in der man die Gesetzmäßigkeiten zufälliger Ereignisse untersucht. Gemeinsam mit der Statistik bildet sie das mathematische Teilgebiet der Stochastik, wobei die W-Theorie das theoretische Fundament darstellt auf dem die Statistik ruht. Dabei erfährt die W-Theorie indirekt durch das Vordringen der Statistik in Bereiche wie der Technik, der Medizin, der Ökonomie oder der Psychologie immer mehr an Bedeutung. Direkte Anwendungen der W-Theorie können vor allem in der Physik (wie z.B. der Quanten-Mechanik) oder der reinen Mathematik gefunden werden; so basisert z.B. ein von P. Erdös eingeführtes Beweisverfahren, die sog. Probabilistische Methode, auf der W-Theorie. In dieser Arbeit werden wir maßtheoretische Grundlagen der W-Theorie herleiten, begründen und veranschaulichen. Kenntnisse aus der naiven Mengenlehre, Grundlegendes der Analysis (z.B. der Binomische Lehrsatz, Exponentialfunktion u.Ä.), ein gutes logisches Verständnis und das Interesse an der Materie sollten für eine erfolgreiche Bearbeitung dieses Dokumentes ausreichen. Das eingeschlagene Niveau wird dem einer Vorlesung an einer (deutschen) Universität entsprechen. Allerdings werden wir darüber hinaus versuchen das Verständnis mit Hilfe von Beispielen und erklärenden Kommentaren zu festigen. Im Einzelnen werden behandelt:

• Grundlagen: Potenzmenge, Mengenfamlie, Partition, symmetrische Differenz, Gesetze von De Morgan, Limes superior, Limes inferior, obere Limes, untere Limes, isoton, antitone und monotone Kovnergenz, erweiterte reelle Zahlen, Urabbildung, Urbild, Faser.
• Zufallsexperiment, Ausgangsraum, Ausgang, (Elementar-)Ereignis, Komplementär-Ereignis, unmögliches und sicheres Ereignis, Ereignissystem, abgeschlossen gegenüber Mengenoperationen.
• Wahrscheinlichkeits-Maß (W-Maß), nichtnegativ, normiert, sigma-additiv, diskreter Wahrscheinlichkeits-Raum, Eigenschaften, Wahrscheinlichkeits-Funktion, Beispiele, induzierte W-Funktion, Binomialverteilung, Poissonverteilung, Gleichverteilung, Laplaceschen W-Begriff.
• Stetige Wahrscheinlichkeits-Räume, Maßproblem, Satz von Vitlali, Antinomie, Definition und Sätze zu (Mengen-)Halbringen, Ringen und Algebren.
• sigma-Algebren und sigma-Ringe, Messraum, Spur, allg. W-Räume, Erzeugendensysteme, von einem Mengensystem erzeugte sigma-Algebra, Raum der n-dimensionalen Figuren, Borel-Mengen, Borelsche Sigma-Algebra bzw. Borel-Körper, Erzeugung der offenen, geschlossenen und kompakten Mengen, Inhalt, allg. Maß.
• Fortsetzung und Eindeutigkeit von Maßen, 1. und 2. Fortsetzungssatz für W-Maße, sigma-endlich, Nullmenge, Borel-Lebesgue-Maß, Bewegungsinvarianz.
• Zufallsvariablen und messbare Abbildungen, Eigenschaften, Urbild, Messbarkeits-Kriterium, Definition Zufallsvariable, Indikatorfunktion, charakterisitische Funktion, Bild und Bildmaß, Wahrscheinlichkeits-Verteilung.