Körpererweiterungen sind ein wesentlicher Bestandteil der Körpertheorie; diese ist wiederum der Algebra zugeordnet. Die klassische Aufgabe der Algebra ist es Gleichungen der Form a_nXⁿ+a_n-1X^n-1 + ... + a₁X¹ + a₀X⁰ = 0 zu lösen. Dies ist sicher eine recht konkrete und naheliegende Frage. Im Laufe einer jahrhundertelangen Entwicklung hat sich herausgestellt, dass dies eine überaus schwierige Aufgabe ist, und dass ein gewaltiger begrifflicher und theoretischer Aufwand notwendig ist, um sie einigermaßen zu beantworten.

Die Körpererweiterungen L:K stellen einen ersten großen Schritt in diese Richtung dar. Die Galois-Theorie löst das gestellte Problem in aller Allgemeinheit und die Körpererweiterungen bilden sozusagen eine Vorstufe zur Theorie von Evariste Galois.

Im Einzelnen werden behandelt:

• Primringe und Primkörper, Abbildung zwischen Ringen (Ringhomomorphismus, Bild ist ein Unterring), (positive) Charakteristik, kleinste Unterring, kleinste Unterkörper, Existenz eines Monomorphismus, Kern, Form der Ideale im Ring der ganzen Zahlen Z, Integritätsbereich bzw. Integritätsring, Q und F_p sind bis auf Isomorphie die einzigen Primkörper
• Körperhomomorphismus, Eindeutigkeit der neutralen Elemente (0,1) und der Inversen, jeder Körperhomomorphismus ist injektiv
• Definition Erweiterungskörper, Körpererweiterung, Oberkörper, Unterkörper, Teilkörper, Zwischenkörper, L:K, L/K, L|K, Beispiele
• System von Unterkörpern, Jede Körpererweiterung L:K (jeder Zwischenkörper) besitzt denselben Primkörper
• Erweiterungskörper ist eine natürlicher Vektorraum, Basis, linear unabhängig, (Skalar-)Multiplikation, endliche Erweiterung, einfache Erweiterung, quadratische Erweiterung
• Charakterisierung der Adjunktion, Adjunktion endlicher Mengen, einfache Körpererweiterung.
• K[X]/(f(X)) bildet einen K-Vektorraum mit Dimension Grad(f)=n, Jeder Körper ist Vektorraum über seinem Primkörper
• Gradsatz, Beweis, Folgerungen daraus, C:R hat keine echten Zwischenkörper
• Adjunktion, kleinster Körper, einfache Körpererweiterung, primitives Element
• Sätze über endliche Erweiterungen
• Algebraische Zahl, Minimalpolynom p(X) von a: irreduzibel, algebraische Zahl, Grad, Teiler, Polynom kleinsten Grades, so dass p(a)=0, Einsetzungshomomorphismus, Substitutionshomomorphismus, Kern des Einsetzungshomomorphismus ist ein Hauptideal - dieses wird vom Minimalpolynom erzeugt,
• Jede endliche Erweiterung ist algebraisch
• Menge aller Einsetzungen, Bild des Einsetzungshomomorphismus = K[a], Isomorph zur Adjunktion mit a, also K[a]~K(a), wenn a algebraisch ist, K-Isomorphismus
• Transzendente Körpererweiterrung, Vektorraum ist unendlich-dimensional, K[a] ist isomorph zum Polynomring K[T], Homomorphiesatz, unendlich viele Zwischenkörper
• Menge aller algebraischen Zahlen eines Körpers K, algebraischer Abschluss, Beispiel, Körpereigenschaften

Die Wahrscheinlichkeits-Theorie (=: W-Theorie) ist ein Teilgebiet der Mathematik, in der man die Gesetzmäßigkeiten zufälliger Ereignisse untersucht. Gemeinsam mit der Statistik bildet sie das mathematische Teilgebiet der Stochastik, wobei die W-Theorie das theoretische Fundament darstellt auf dem die Statistik ruht. Dabei erfährt die W-Theorie indirekt durch das Vordringen der Statistik in Bereiche wie der Technik, der Medizin, der Ökonomie oder der Psychologie immer mehr an Bedeutung. Direkte Anwendungen der W-Theorie können vor allem in der Physik (wie z.B. der Quanten-Mechanik) oder der reinen Mathematik gefunden werden; so basisert z.B. ein von P. Erdös eingeführtes Beweisverfahren, die sog. Probabilistische Methode, auf der W-Theorie. In dieser Arbeit werden wir maßtheoretische Grundlagen der W-Theorie herleiten, begründen und veranschaulichen. Kenntnisse aus der naiven Mengenlehre, Grundlegendes der Analysis (z.B. der Binomische Lehrsatz, Exponentialfunktion u.Ä.), ein gutes logisches Verständnis und das Interesse an der Materie sollten für eine erfolgreiche Bearbeitung dieses Dokumentes ausreichen. Das eingeschlagene Niveau wird dem einer Vorlesung an einer (deutschen) Universität entsprechen. Allerdings werden wir darüber hinaus versuchen das Verständnis mit Hilfe von Beispielen und erklärenden Kommentaren zu festigen. Im Einzelnen werden behandelt:

• Grundlagen: Potenzmenge, Mengenfamlie, Partition, symmetrische Differenz, Gesetze von De Morgan, Limes superior, Limes inferior, obere Limes, untere Limes, isoton, antitone und monotone Kovnergenz, erweiterte reelle Zahlen, Urabbildung, Urbild, Faser.
• Zufallsexperiment, Ausgangsraum, Ausgang, (Elementar-)Ereignis, Komplementär-Ereignis, unmögliches und sicheres Ereignis, Ereignissystem, abgeschlossen gegenüber Mengenoperationen.
• Wahrscheinlichkeits-Maß (W-Maß), nichtnegativ, normiert, sigma-additiv, diskreter Wahrscheinlichkeits-Raum, Eigenschaften, Wahrscheinlichkeits-Funktion, Beispiele, induzierte W-Funktion, Binomialverteilung, Poissonverteilung, Gleichverteilung, Laplaceschen W-Begriff.
• Stetige Wahrscheinlichkeits-Räume, Maßproblem, Satz von Vitlali, Antinomie, Definition und Sätze zu (Mengen-)Halbringen, Ringen und Algebren.
• sigma-Algebren und sigma-Ringe, Messraum, Spur, allg. W-Räume, Erzeugendensysteme, von einem Mengensystem erzeugte sigma-Algebra, Raum der n-dimensionalen Figuren, Borel-Mengen, Borelsche Sigma-Algebra bzw. Borel-Körper, Erzeugung der offenen, geschlossenen und kompakten Mengen, Inhalt, allg. Maß.
• Fortsetzung und Eindeutigkeit von Maßen, 1. und 2. Fortsetzungssatz für W-Maße, sigma-endlich, Nullmenge, Borel-Lebesgue-Maß, Bewegungsinvarianz.
• Zufallsvariablen und messbare Abbildungen, Eigenschaften, Urbild, Messbarkeits-Kriterium, Definition Zufallsvariable, Indikatorfunktion, charakterisitische Funktion, Bild und Bildmaß, Wahrscheinlichkeits-Verteilung.

In diesem Dokument werden wir uns der Mengenlehre und somit unmittelbar auch dem Unendlichen widmen. Beide Themen sind nicht nur mathematischer sondern auch philosophischerNatur. Der Schöpfer der Mengenlehre Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor (1845-1918) hat selbst lange Zeit als Mathematiker und Philosoph gearbeitet und publiziert. Will man die Mengenlehre verstehen, so kommt man nicht umhin sich mit der Unendlichkeit vertraut zu machen. In unserer Alltagswelt sind jedoch sämtliche Dinge endlich, wie also soll man als endliches Wesen die Unendlichkeit begreifen?

Das Genie Georg Cantor hat einen Weg ins Paradies „Mengenlehre“ gefunden und dennoch wurden seine überragenden Leistungen erst postum geehrt. Zu Lebzeiten stieß Cantor überwiegend auf Unverständnis und Missachtung. In diesem Manuskript werden wir zwei große Entdeckungen Cantors unter die Lupe nehmen: zum Einen die Kardinal- und zum Anderen die Ordinalzahlen.

Die von Cantor gegebene Definition einer Menge werden wir direkt im Anschluss studieren und deren Unschärfe an Hand von Antinomien erläutern. Im Anschluss betrachten wir das wohl bekannteste und wichtigste Axiomensystem der Mengenlehre ZFC. Auf diesem mathematischen Fundament, der axiomatischen Mengenlehre, werden wir Ordnungen einführen und genauer untersuchen. Ordnungen spielen eine wesentliche Rolle im Zusammenhang mit Kardinal- und Ordinalzahlen und darüber hinaus. Wir werden viele wunderschöne Beweise und Sätze, wie z.B. die Diagonalargumente von Cantor oder den Satz von Schröder & Bernstein, kennenlernen, die zum Teil auch im „BUCH der Beweise“, [2] enthalten sind.

Obwohl auch anspruchsvolle Sätze angeführt und bewiesen werden benötigt man für das Verständnis dieses Dokuments nur recht wenig Vorwissen. Lediglich Grundlegendes aus der Mengenlehre sollte man parat haben. So sollte einem klar sein, was man z.B. unter der Vereinigung oder dem Durchschnitt von Mengen versteht. Ferner sollten einem die naiven Defintionen der wichtigsten „Zahlenbereiche“, wie z.B. die Menge der natürlichen, der ganzen, der rationalen und der reellen Zahlen (die „Zahlengerade“) bewusst sein.  Die Menge der natürlichen Zahlen werden wir mengentheoretisch weiter unten einführen. Im Einzelnen werden behandelt:

• Definition von Cantor des Begriffs Menge; Mannigfaltigkeitslehre; Objekt;Eigenschaften; Antinomie von Betrand Russel, rasiert sich der Barbier selbst?; Menge aller Mengen, die sich nicht selbst als Element enthalten; „Ich lüge mit diesem Satz“; Antinomie von Burali-Forti: Die Gesamtheit aller Ordinalzahlen ist keine Menge; Antinomie von Cantor: Die Gesamtheit aller Kardinalzahlen ist keine Menge; echte Klasse.
  
• Axiomatische Mengenlehre: Zermelo, Fraenkel,ZFC: Existenz der leeren Menge, Extensionalitätsaxiom, Paarmengenaxiom, Vereinigungsmengenaxiom, Potenzmengenaxiom, Aussonderungsaxiom, Ersetzungsschema, Unendlichkeitsaxiom, Fundierungsaxiom, Auswahlaxiom.
  
• Ordnungen auf Mengen: Teilordnung, Halbordnung, partieller Ordnung oder Ordnungsrelation, Reflexivität, Antisymmetrie, Transitivität, halbgeordnete Menge, vergleichbar, unvergleichbar, total geordnet oder linear geordnet, Trichotomie, Beispiele, Lemma von Zorn, (triviales) Intervall ,  x bedeckt y, total geordnete Teilmenge, Kette der Länge n, unterteilbare Kette, maximale Kette.
• Unendliche Mengen und Kardinalzahlen: gleiche Kardinalzahl, leiche Mächtigkeit oder die gleiche Kardinalität; n-Menge; Definition abzählbare Menge und überabzählbare Menge; von gleicher Kardinalzahl; Hilberts Hotel; Zimmer und Gäste als Veranschaulichung einer bijektiven Abbildung; Dedekinds Definition einer unendlichen Menge; Äquivalenzrelation gleich mächtiger Mengen; Kardinalzahl;
  
• Abbzählbar unendliche Mengen: Ganze Zahlen sind abzählbar; (erstes und zweites) Diagonalarument von Cantor; Cantorsche Paarungsfunktion; Jede Vereinigung von abzählbar vielen abzählbaren Mengen M_k ist wieder abzählbar; eleganter Beweis der Abzählbarkeit der rationalen Zahlen von N. Calkin und H. Wilf; Hyperbinärdarstellung; Überabzählbare Mengen: Die Menge der reellen Zahlen R ist nicht abzählbar; Diagonalargument; Kontinuum; Gleichmächtigkeit aller Intervalle in R; Die Menge R² aller geordneter Paare von reellen Zahlen (die reelle Ebene) hat dieselbe Größe wie R.
  
• „Größer“ und „Kleiner“ bei Mächtigkeiten: Aleph; Mächtigkeit der natürlichen Zahlen; Menge M echt kleiner ist als eine Menge N; |M| kleiner oder gleich |N|; Totalordnung der Kardinalzahlen; Satz von von Schröder & Bernstein; Unendliche Mächtigkeiten: Für jede nicht leere Menge M ist deren Potenzmenge echt mächtiger als M selbst; Seien M und N Mengen gleicher Mächtigkeit, dann gilt: Ist M unendlich, so auch N; 
• Von Ordinalzahlen: mengentheoretische Einführung der natürlichen Zahlen; Nachfolger; Nachfolgermenge;Prinzip der vollständigen Induktion; kleinste Nachfolgermenge ω ;Jedes Element einer natürlichen Zahl n ist auch eine echte Teilmenge von n; Enthaltensein und Teilmengen sind für natürliche Zahlen äquivalent; transitive Mengen; Ordnungstypus; Fundamentalsatz über W(α);
  
• Wohlordnungen:natürlichen Zahlen ist eine wohlgeordnete Menge; absteigende Kettenbedingung (DCC); Wohlordnungssatz von Zermelo; ordnungsisomorph; ordnungstreue Abbildung, gleich geordnet; ähnliche, gleichlange Wohlordnungen;die Ordnung auf der Menge der Wohlordnungen; Anfangsstück einer Wohlordnung; kürzer als bei Wohlordnungen; Vergleichbarkeitssatz für Wohlordnungen;
  

Die Theorie der Unabhängigkeitssysteme wurde bereits Anfang der 1930er Jahre von B.L. van der Waerden in seiner legendären zweibändigen Reihe Moderne Algebra behandelt; allerdings von einer rein algebraischen Warte aus. Im September des Jahres 1934 publizierte die American Mathematical Society eine Arbeit von Hassler Whitney mit dem Titel On the Abstract Properties of Linear Dependence. Diese Arbeit markiert die eigentliche Geburtsstunde der Theorie der allgemeinen Unabhängigkeitssysteme. Hassler Whitney schlug damals den Namen „Matroid“ vor, da er allgemeine Unabhängikeitssysteme mit Hilfe von Matrizen (oid [zu griech. -oiedes = ähnlich]) definierte.

Im zweiten Abschnitt Präliminarien werden wir die wichtigsten Definitionen und Sätze aus der linearen Algebra, der Graphentheorie und der Mengenlehre wiederholen. Im darauffolgenden Abschnitt Matroide wird der zentrale Begriff des gesamten Dokuments definiert und veranschaulicht. Dazu behandeln wir die erste wichtige Klasse von Matroiden, die so genannten Vektormatroiden. Ein wesentliches Charakteristikum von Matroiden ist, dass diese auf viele äquivalente Arten definiert werden können (sie sind kryptomorph). Im vierten Abschnitt werden wir die einige davon kennenlernen. Im vorletzten Abschnitt werden wir ein, nicht nur für die Matroidtheorie, wichtiges Prinzip kennenlernen – die Dualität. Schließlich untersuchen wir noch im letzten Abschnitt, wie Verbände und Matroide zusammenhängen.

Im Einzelnen werden behandelt:

• Lineare Unabhängigkeit: Definition, Herleitung und äquivalente Chrakterisierung, überflüssige Vektoren, Reduzierung, Beweis.
• Graphentheorie: kartesische (direkte) Produkt, Menge der geordneten Paare von Elementen, erste und zweite Element, ungeordnete Paare, ungerichteter Graph, Knoten, Kanten, Kanteninzidenzabbildung, Knoten v und Kante k heißen inzident, Adjazenz für Knoten und Kanten, Knotengrad, Kantengrad, Knoten- bzw. Kantengradabbildung, Schlinge, parallele Kanten, einfacher Graph, Beispiele, Kantenfolge der Länge n, verbindbar, zusammenhängend oder verbunden, unzusammenhängend, Untergraph oder Teilgraph, erzeugte Untergraph, Kograph, Komponente, Rang, Kantenzug, Kantenweg oder kurz Weg, geschlossene Kantenfolge, geschlossener Kantenzug, Kantenkreis oder kurz Kreis, Baum, maximal kreislos, minimal zusammenhängend.
• Ordnungen und Verbände: Teilordnung, Halbordnung, partieller Ordnung oder Ordnungsrelation, Reflexivität, Antisymmetrie, Transitivität, halbgeordnete Menge, vergleichbar, unvergleichbar, total geordnet oder linear geordnet, Trichotomie, Beispiele, maximales Element, minimales Element, obere Schranke von M, untere Schranke von M, nach oben beschränkt, nach unten beschränkt, Infinum, Supremum, Nullelement, Einselement der Halbordnung, Lemma von Zorn, (triviales) Intervall , Atom, Coatom, x bedeckt y, total geordnete Teilmenge, Kette der Länge n, Antikette, unterteilbare Kette, maximale Kette, Höhe eines Elements, Jordan-Dedekindsche Kettenbedingung auf einer Halbordnung, Hasse-Diagramm, Beispiele, Vereinigung und Schnitt (meet and join) auf einer Halbordnung, (vollständiger) Verband, atomarer Verband, Potenzmenge mit Inklusion ist Verband, Boolesche Algebra.
• Matroide: Definition mit Hilfe der Menge aller unabhängigen Mengen, erblich, hereditär, Ergänzungssatz, unabhängig, abhängig, Beispiele, triviale Matroide, Matroide aus Vektorräumen, Vektormatroiden, Isomorphismus zwischen Matroiden, darstellbare bzw. repräsentierbare Matroide, Beweise, Matrizen, Matrix.
• Axiomatik der Matroide: Axiome des Basissystems, Basis, Gleichmächtigkeit zweier Basen eines Matroids, Basis-Axiome, durch Basissystem eindeutig bestimmter Matroid, uniforme Matroid, freie Matroid, Axiome des Zirkuitsystems, Kreise eines Matroids, minimal abhängig, Kreis oder Zirkuit, Zirkuitsystem, Länge eines Kreises, graphische Matroide, Beispiele, durch Menge aller Kreise bestimmter Matroid, Kreis-Axiome, schwaches Kreiseliminationsaxiom, starkes Kreiseleminationsaxiom, Fundamentalkreise eines Matroids, Fundamentalkreis zur Basis B und
  dem Element x, Kreismatroide aus Graphen, Kreismatroid oder Polygonmatroid, Axiome der Rangfunktion, lineare Hülle, Abschlussoperator oder Hüllenoperator, extensiv, isoton und idempotent, Rangfunktion eines Matroids, Reduktion von, Löschen von, Rang von, Rangfunktion r ist nicht negativ und subkardinal, sie ist monoton und submodular, Abschlussoperator und die Rangfunktion, durch Rangfunktion eindeutig bestimmter Matroid, Axiome des Abschlussoperators, Steinitz-MacLane-Austauscheigenschaft, Rangfunktion bildet Hüllenoperator, Unterräume, abgeschlossenen Mengen, Punkte, Linien, Ebenen, Hyperebenen, Erzeugendensystem von M, Charakterisierung von Erzeugendensystemen, Basen und Hyperebenen durch den Rang, Restriktion/Reduktion eines Matroids, Kreismatroide und der Abschluss.
• Dualität und Matroide: Definition und Beispiele, Existenz des „dualen“ Matroiden, Dual von M oder den zu M dualen Matroiden M*, Cobasen, Cokreise, Cohyperebenen, Corang, counabhängig, Attribute eines Duals, Zusammenhang zwischen M und dessen Dual M*, Rangformel für duale Matroide, Clutter und Blocker, Clutter (oder Antikette), komplementären Clutter, Eigenschaften eines Blockers, Clutter und Hyperebenen.
• Unterraumverbände von Matroiden: Unterräume eines Matroids bilden einen (geometrischen) Verband, Beispiel, Fano-Matroid, Fano-Ebene, projektive Ebene, semimodular.