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| Die Theorie der konformen Abbildungen (Funktionen), welche Begriffe wie Winkeltreue, Orientierungstreue, Holomorphie, Antiholomorphie oder Biholomorphie zum Gegenstand des Interesses macht, ist bedeutend für die Abbildungstheorie insbesondere in der Funktionentheorie.
D.h. in diesem Dokument werden die Grundlagen für die Untersuchung komplexer Funktionen und deren Abbildungseigenschaften vermittelt.
Wie verhalten sich bspw. Winkel zwischen zwei Vektoren aus der Gaußschen Zahlenebene gegenüber der Abbildung komplexer Funktionen?
Was bedeutet Winkeltreue überhaupt?
Zahlreiche Beispiele sollen dazu dienen das Verständnis und die Anschauung zu erhöhen.
Im Einzelnen werden folgende Themen behandelt:
- Definitionen: schlichte Funktion, biholomorphe Funktion, Injektivitätslemma
- Biholomorphiskriterium, konforme Funktionen, Umkehrsatz als Analogon
- Charakterisierung biholomorpher (konformer) Abbidlungen, Ableitung muss nullstellenfrei und Abbildung bijektiv sein
- lokal biholomorph, lokal konform, Charakterisierung lokal konformer Abbildungen
- Konform äquivalente Mengen, Beispiele
- Winkeltreue, Vektorraum, Winkel zwischen zwei Vektoren
- Holomorphe und antiholomorphe Abbildungen sind winkeltreu
- Holomorphe Funktionen sind orientierungstreu, d.h. die Durchlaufrichtung bleibt erhalten
- Riemannscher Abbildungssatz
- Modifiziertes Maximumsprinzip, kompakte beschränkte Teilmenge, stetige Funktion
- Lemma von Schwarz, Einheitskreis, Drehung um Nullpunkt, Beweis
- Alle konformen Abbildungen von E nach E mit Fixpunkt f(0)=0
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Der griechische Philosoph Platon (428 - 348 v.Chr.), bekanntester Schüler Sokrates, stammte aus einem wohlhabenden und angesehenen altadligem Geschlecht Athens. Aufgrund seiner (familären) Beziehungen hatte er die Möglichkeit in der Politik Karriere zu machen. Insbesondere die Hinrichtung seines Mentors Sokrates (399 v. Chr.) ließ in ihm die Überzeugung reifen, dass die Stadt Athen von den Sitten der Väter abgefallen sei und überhaupt alle Staaten schlecht verwaltet wären (siehe unten, Platon, Briefe VII).
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Die Orthogonalität charakterisiert senkrecht aufeinander stehende Vektoren, wobei zwei Vektoren v und w genau dann senkrecht aufeinander stehen, wenn der Winkel φ zwischen v und w genau 90°=π/2 ist. Es ist naheliegend die wohl bekannteste mathematische Formel a 2 + b 2 = c 2, den so genannten Satz des Pythagoras (für rechtwinklige Dreiecke), auf senkrecht aufeinander stehende Vektoren zu verallgemeinern. Es stellt sich heraus, dass es zu jedem endlich dimensionalen Vektorraum eine orthogonale Basis gibt, welche man üblicherweise mit Hilfe des Gram-Schmidt'schen Orthogonalisierungsverfahrens ermittelt wird. Ferner kann man aus einer orthogonalen Basis bzw. Menge auch eine orthonormale Basis durch Normierung berechnen. Mit Hilfe von orthogonalen Vektoren kann man orthogonale Komplemente, Matrizen und Abbildungen definieren und interessante algebraische Aspekte studieren. So kann man bspw. einen Vektorraum mit Hilfe zwei zueinander komplementäre Untervektorräume in eine direkte Summe zerlegen bzw. einen f-invarianten Endomorphismus erklären. Im Einzelnen werden behandelt:
- Definition: orthogonaler und orthonormale Menge bzw. Vektoren, Skalarprodukt, positiv definit, symmetrisch, bilinear, Euklidischer Vektorraum, Winkel zwischen zwei Vektoren, Beispiele, Verallgemeinerung des Satz des Pythagoras, Veranschaulichung, Beispiel, Orthogonale Vektoren ungleich 0 sind linear unabhängig, Beweis, orthogonale Basis bzw. orthonormale Basis, Orthogonalbasis, Orthonormalbasis, Länge 1, Orthonormalisierungsverfahren von Gram-Schmidt, Algorithmus zur Konstruktion von Orthonormalbasen, Existenz von Orthonormalbasen, orthogonale Komplement ist ein Untervektorraum mit besonderen Eigenschaften, direkte Summe von Unterraum und Komplement.
- Definition: orthogonale Abbildungen, Beispiele, orthogonale Abbildung f erhält die Vektorraumstruktur und das Skalarprodukt, abstandserhalten, erhält den Winkel zwischen zwei Vektoren, orthogonale Abbildungen sind injektiv und auf endlich dimensionalen Vektorräumen surjektiv und damit ein Isomorphismus, orthogonale Gruppe, Kongruenz, Eigenschaften orthogonaler Endomorphismen.
- Definition: orthogonale Matrix; Eigenschaften orthogonaler Matrizen; A orthogonal, dann auch das Transponierte und Inverse; Determinante einer orthogonalen Matrix ist stets -1 oder 1; Produkt zweier orthogonaler Matrizen ist orthogonal; Orthogonaler Matrizen und Basen; Orthogonaler Matrizen und Endomorpismen.
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Sokrates wurde um 470 v.Chr. als Sohn eines Steinmetzen und einer Hebamme in Athen geboren. Seine Heimatstadt hat er nur zur Teilnahme an Feldzügen, bei denen er sich durch Tapferkeit und die Fähigkeit Strapazen zu ertragen auszeichnete, verlassen. Seine äußere Erscheinung, nach einer erhaltenen Porträtbüste zu urteilen, entspricht weder dem herkömmlichen Bild eines Griechen noch dem eines Philosophen. Die kräftige gedrungene Gestalt, der breite Kopf, das runde Gesicht mit platter Nase, seine ganze Haltung deuten eher auf einen Handwerker hin, der er ja nach seiner Herkunft auch war.
Den von seinem Vater erlernten Beruf vernachlässigt er aber frühzeitig und ebenso seine Familie, um sich ganz der Lehrtätigkeit zu widmen, zu der er die Berufung fühlte und die in dieser Art vor ihm noch niemand ausgeübt hatte.
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Sokrates war ein Witzbold und Straßenredner, Tag für Tag bewegte er sich, einfach, fast ärmlich gekleidet, auf den Straßen und Plätzen Athens. Meist folgte Ihm eine bunte Schar von Schülern, unter ihnen viele Jünglichnge aus den frührenden Familien der Stadt. Im Gegensatz zu den Sophisten lehrte er jedoch unentgeltlich. Die Lehrtätigkeit bestand ganz im Gespräch, in einem Art Frage-und-Antwort-Spiel, das auch unter dem Begriff Mäeutik bekannt ist. Dabei handelt es sich um eine Art „geistige Geburtshilfe“:
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| Die Sophistik, von griechisch σοφιστής (sophistés) was soviel wie "Weisheitsbringer" bedeutet.
Im 6. und 5. Jahrhundert vor Christus erwachte das philosophische Denken nahezu gleichzeitig an verschiedensten Stellen des damaligen Griechenlands, welches sich zur philosophischen Weltansicht verdichtet.
Gleichsam in aller Jugendfrische treten uns die mannigfachsten Möglichkeiten einer natürlichen Welterklärung entgegen. Alle Richtungen der griechischen und abendländischen Philosophie haben hier ihre Wurzeln und ihre Vorgänger. Fast jedes Problem, das in der späteren Philosophie eine Rolle gespielt hat wurde bereits in dieser Zeit vorgedacht, wenn nicht sogar gelöst.
Seit der siegreichen Verteidigung der griechischen Freiheit in den Kriegen gegen die Perser (500-499 v.Chr.) entstand in Griechenland und vor allem in Athen, das nun zum geistigen und politischen Mittelpunkt wurde, Wohlstand und Reichtum, und damit stieg auch das Bedürfnis nach höherer Bildung. Die demokratische Verfassung erhob die Kunst der öffentlichen Rede zu wachsender Bedeutung. In den Volksversammlungen und vor Gericht hatte derjenige den Vorteil, der seine Sachen mit den besten Argumenten und in geschicktesten Form zu vertreten wußte. Wer Karriere machen wollte -wozu grundsätzlich jedem Bürger der Weg offenstand-, bedurfte einer gründlichen Ausbildung als Staatsmann und Redner.
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