Die ersten Berührungspunkte eines Studenten mit der mathematischen Topolgie finden sich deshalb auch meist in einer Vorlesung über die Analysis.
In diesem Sinne soll in die topologischen, metrischen und normierten Räume eingeführt werden. Insbesondere werden die Zusammenhänge der einzelnen Raumarten näher untersucht und wichtige Klassen bspw. von Normen eingeführt.
Viele Beispiele sollen das Dargestellte illustrieren und verständlich machen.

Im einzelnen werden behandelt:

• (Induzierte) Metrik, (induzierte) Norm, metrischer Raum, normierter Vektorraum
• Zusammenhand: l_p-Normen (euklidische Norm) und die Maximumsnorm, Einheitskreis
• Norm und Skalarprodukt
• Topologische Eigenschaften, -Umgebung, verallg. Umgebungsbegriff, Topologie bzw. topologischer Raum, (Eigenschaften) offener Mengen, innerer Punkt
• Umgebungsfilter, Axiomensystem, Konvergenz

Die Möbius-Transformationen (auch gebrochen lineare Transformation genannt) bilden eine bestimmte Klasse von komplexen Funktionen. Genauer: Eine Möbius-Transformation ist eine rationale Funktion deren Zähler und Nennergrad maximal 1 ist. Ferner müssen die Koeffizienten dieser Funktion eine spezielle Voraussetzung erfüllen.

Man könnte fast meinen, dass diese Abbildung relativ langweilig erscheinen, doch bei genaueren Untersuchungen kann man feststellen, dass dies mitnichten so ist.
Im Gegenteil, durch diese Klasse von Funktionen kann man bspw. automorphe Funktionen definieren. Auch im Bereich der automorphen Formen spielen diese unscheinbaren Funktionen eine bedeutende Rolle.

In dem bereitgestellten PDF-Dokument werden insbesondere die algebraischen Zusammenhänge der Möbiustransformationen und der Menge der invertierbaren Matrizen GL(2,) (=general linear group) untersucht. Das Doppelverhältnis o.ä. behandeltn wir in diesem Dokument nicht.
Im Einzelnen werden untersucht:

• Die Menge der Möbius-Transformationen bilden eine Gruppe.
  Inverse Möbius-Transformation, neutrales Element, Komposition bzw. Matrizenmultiplikation als Verknüpfung, Assoziativität
• Stetigkeit gebrochen lineare Transformationen, erweiterte komplexe Ebene, Riemannsche Zahlenkugel, stetige Fortsetzung ins Unendliche
• Möbius-Transformation dargestellt als Komposition von Elementartypen
• Gruppenhomomorphismus, Kern, Normalteiler
• Beispiele

Es wird sich im Laufe des Dokuments herauskristalisieren, dass die komplexe Differenzierbarkeit in einem gewissen Sinne eine Verallgemeinerung der reellen Differenzierbarkeit ist. Um die Unterschiede zwischen den beiden Arten der Differenzierbarkeit herauszuarbeiten, ist es notwendig die - und -Linearität einzuführen und gegenüberzustellen.

Daraus ergeben sich dann in natürlicher Weise die Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen, und viele weitere interessante Zusammenhänge, welche allerdings nicht alle hier erläutert werden können.

• Häufungspunkt, stetige Fortsetzung, Existenz des Grenzwertes
• Zusammenhänge der -Linearität und -Linearität
• Definition der komplexen Differenzierbarkeit und äquivalente Aussagen, holomorphe Funktionen
• Cauchy-Riemannsche Differentialgleichungen (notwendiges und hinreichendes Kriterium)
• Herleitung der C.-R.-DGL
• Herleitung des Wirtinger-Kalküls
• Anschauung der komplexen und reellen Differenzierbarkeit

Die Rekursion ist ein fundamentales Prinzip in der Mathematik und Informatik:
In der Mathematik spricht man von der rekursiven Definition einer Funktion, wenn diese „durch sich selbst definiert wird“. Eines der bekanntesten Beispiele der Mathematik ist die Fibonacci-Folge: Es sei f: eine Funktion (genauer eine Folge) definiert durch

• f(0) := 1
• f(1) := 1
• f(n) := f(n-1) + f(n-2) [für n>1]

In dem bereitliegendem Dokument werden diese Grundlagen verständlich aufbereitet und mit vielen Beispielen veranschaulicht.

Im Einzelnen werden folgende Themen behandelt:

• Teilbarkeit mit und ohne Rest
• Modulo-Operator, a mod b, modulare Arithmetik
• Größte gemeinsame Teiler, ggT(a,b)
• Euklidische Algorithmus (zur Bestimmung des ggT)
• Vielfachsummendarstellung von Bézout, erweiterte euklidische Algorithmus
• Modulare Inverse