Schränkt man jedoch die Voraussetzungen ein, so kann man in der Tat die Existenz gewisser Untergruppen mit entsprechender Ordnung nachweisen. Dies ist die Hauptaussage des ersten Sylowsatzes. Der zweite Sylowsatz gibt darüber Auskunft welche Struktur diese speziellen Untergruppen einnehmen (sie liegen alle auf einer Bahn bzw. sind Teilmenge von p-Sylow-Gruppen). Schließlich gibt der letzte und damit dritte Sylow-Satz Auskunft über die Anzahl von p-Sylow-Gruppen.

Um diese für die Gruppentheorie sehr bedeutenden Sylowsätze beweisen zu können, benötigt man Wissen zu so genannten Gruppenoperationen. Das ist quasi eine "Standpunktwechsel" des Satzes von Cayley. Am Ende des bereitgestellten Dokuments werden wir uns noch zwei typische Anwendungsbeispiele der Sylowsätze näher betrachten.

Im Einzelnen werden behandelt:

• Operationen von Gruppen auf nicht leeren Mengen, Satz von Cayley, Motivation und Ausgangspunkt, Linkstranslation, Linksmultiplikation, Gruppenhomomorphismus, symmetrische Gruppe
• Definition Gruppenoperation, G operiert auf X, Abbildung (Gruppenoperation) mit Eigenschaften, Beispiele: triviale Operation, Gruppe G operiert auf sichselbst durch Linksmultiplikation, Permuationsgruppe S(X) operiert auf X.
• Charakterisierung der Gruppenoperation, G operiert auf X genau dann, wenn ein Homomorphismus von G nach S(X) existiert. Beweise, Äquivalenzrelation, Nebenklassen, Aufteilung in disjunkte Klassen bzw. disjunkte Bahnen/Orbite, Vergleich mit Faktorräumen
• Diversen Versionen der Bahnengleichung, Vertretersystem/Repräsentantensystem, Fixpunktmenge, Fixpunkte, Fixpunktsatz, Beispiele, Stabilisator/Isotropie-Gruppe, Stabilisator ist eine Untergruppe, Untergruppen H von G operieren auf der Gruppe G durch Linksmulitplikation, verallgemeinerte Herleitung des Satzes von Lagrange, Anwendung der Bahnengleichung, Bahnlänge entspricht dem Index der Isotropie-Gruppe.
• Konjugation, Operation durch innere Automorphismen, Beispiele, spezielle Isotropie-Gruppe, Zentralisator, Normalisator, Klassen Konjugierter, Zentrum, Klassengleichung, nicht triviales Zentrum, diverse Beweise.
• Sätze von Sylow mit ausführlichen Beweisen, alternierenden Gruppen, Hilfssatz aus der Zahlentheorie, Binomialkoeffizient, erster Sylowsatz, zweiter Sylowsatz, dritter Sylowsatz, Beispiele, Satz von Cauchy; ist H eine Untergruppe von G, die eine p-Gruppe ist, so ist H in einer zu P konjugierten p-Sylow-Gruppe enthalten; alle p-Sylow-Gruppen sind konjugiert zueinander, isomorph
• p-Gruppe, p-Sylow-Gruppe, p-Sylow-Gruppen und Normalteiler, elementeweise vertauschbar, Durchschnitt {e}
• Jede Gruppe der Ordnung 15 ist zyklisch, Gruppen der Ordnung 12

Ebenso ergibt sich ein weiterer grundlegender und bedeutender Satz - der Satz von Lagrange, der weitreichende Folgen nach sich zieht. Diese Folgerungen sind bspw. sehr nützlich um Gruppen zu klassifizieren.

Im Einzelnen werden behandelt:

• Linksnebenklassen modulo H, Rechtsnebenklassen modulo H, Linkstranslation bzw. Linksmultiplikation, Rechtstranslation bzw. Rechtsmultiplikation. Äquivalenzrelation, Repräsentant bzw. Vertreter, Beispiele
• Zwei Nebenklassen sind gleichmächtig, Nebenklassen (Äquivalenzklassen) sind entweder gleich oder disjunkt, disjunkte Vereinigung, Index einer Untergruppe H von G, Satz von Lagrange, Anzahl der Linksnebenklassen ist gleich der Anzahl der Rechtsnebenklassen
• Folgerungen aus dem Satz von Lagrange: Ist G von Primzahlordnung, so hat G nur die trivialen Untergruppen G und {e}, Ordnung eines jeden Elements a aus G ist ein Teiler der Gruppenordnung, jede Gruppe mit Primzahlordnung ist zyklisch, ...
• Im Allgemeinen entsprechen sich Rechtsnebenklassen und Linksnebenklassen nicht, Beispiel, Kriterium für die Gleichheit von Normalteilern, Definition Normalteiler, Charakterisierung von Normalteilern, jeder Kern eines Homomorphismus ist ein Normalteiler.
• Definition Faktorgruppe G/S bzw. Quotientengruppe von G nach S, Zuordnung wohldefiniert, Beweis, kanonische Projektion
• Homomorphiesatz für Gruppen, Beweis, Beispiel und Folgerung

Die Körpererweiterungen L:K stellen einen ersten großen Schritt in diese Richtung dar. Die Galois-Theorie löst das gestellte Problem in aller Allgemeinheit und die Körpererweiterungen bilden sozusagen eine Vorstufe zur Theorie von Evariste Galois.

Im Einzelnen werden behandelt:

• Primringe und Primkörper, Abbildung zwischen Ringen (Ringhomomorphismus, Bild ist ein Unterring), (positive) Charakteristik, kleinste Unterring, kleinste Unterkörper, Existenz eines Monomorphismus, Kern, Form der Ideale im Ring der ganzen Zahlen Z, Integritätsbereich bzw. Integritätsring, Q und F_p sind bis auf Isomorphie die einzigen Primkörper
• Körperhomomorphismus, Eindeutigkeit der neutralen Elemente (0,1) und der Inversen, jeder Körperhomomorphismus ist injektiv
• Definition Erweiterungskörper, Körpererweiterung, Oberkörper, Unterkörper, Teilkörper, Zwischenkörper, L:K, L/K, L|K, Beispiele
• System von Unterkörpern, Jede Körpererweiterung L:K (jeder Zwischenkörper) besitzt denselben Primkörper
• Erweiterungskörper ist eine natürlicher Vektorraum, Basis, linear unabhängig, (Skalar-)Multiplikation, endliche Erweiterung, einfache Erweiterung, quadratische Erweiterung
• Charakterisierung der Adjunktion, Adjunktion endlicher Mengen, einfache Körpererweiterung.
• K[X]/(f(X)) bildet einen K-Vektorraum mit Dimension Grad(f)=n, Jeder Körper ist Vektorraum über seinem Primkörper
• Gradsatz, Beweis, Folgerungen daraus, C:R hat keine echten Zwischenkörper
• Adjunktion, kleinster Körper, einfache Körpererweiterung, primitives Element
• Sätze über endliche Erweiterungen
• Algebraische Zahl, Minimalpolynom p(X) von a: irreduzibel, algebraische Zahl, Grad, Teiler, Polynom kleinsten Grades, so dass p(a)=0, Einsetzungshomomorphismus, Substitutionshomomorphismus, Kern des Einsetzungshomomorphismus ist ein Hauptideal - dieses wird vom Minimalpolynom erzeugt,
• Jede endliche Erweiterung ist algebraisch
• Menge aller Einsetzungen, Bild des Einsetzungshomomorphismus = K[a], Isomorph zur Adjunktion mit a, also K[a]~K(a), wenn a algebraisch ist, K-Isomorphismus
• Transzendente Körpererweiterrung, Vektorraum ist unendlich-dimensional, K[a] ist isomorph zum Polynomring K[T], Homomorphiesatz, unendlich viele Zwischenkörper
• Menge aller algebraischen Zahlen eines Körpers K, algebraischer Abschluss, Beispiel, Körpereigenschaften

Hierzu ist es zunächst notwendig, die Theorie der analytischen Fortsetzungen näher zu untersuchen und evtl. Grenzen dieser Methode aufzuzeigen.
Der Zusammenhang zur holomorphen Fortsetzung wird an Beispielen verdeutlicht und durch Skizzen visualisiert. Da der Identitätsatz von so großer Bedeutung für dieses Thema ist, wird dieser eingeführt, erläutert und bewiesen.

Sodann gehen wir daran die Idee der analytischen Fortsetzung auszudehnen und stoßen damit auf das so genannte Kreiskettenverfahren. Dieses wird erläutert und der Kreiskettensatz bewiesen.

Zum Abschluss führen wir noch den Begriff der Homotopie ein und verbinden diesen mit dem Kreiskettenverfahren. Es wird sich herausstellen, dass homotope Kurven, welche sich fortsetzen lassen und homotop sind, dieselbe Fortsetzung besitzen.

Im Einzelnen werden folgende Themen behandelt:

• Diskrete Menge und die Koinzidenzmenge, Identitätssatz mit Beweis, Fortsetzung reeller Funktionen ins Komplexe, Diskussion der Voraussetzungen des Identitätssatzes,
• Folgerungen aus dem Identitätssatz: Jede holomorphe Fortsetzung ist eindeutig bestimmt, Charakterisierung (nicht-)konstanter Funktionen
• Holomorphe Fortsetzung, analytische Fortsetzung, Beispiel
• Das Kreiskettenverfahren, Heuristik, Beispiel, Konstruktionsprinzip, Binomialreihe, Funktionselement, direkte bzw. unmittelbare analytische Fortsetzung, unmittelbare Umformung, Beispiel Log, Kreiskette, analytische Fortsetzung längs einer (Kreis-)kette/Kurve
• Analytischer Zweig des Logarithmus, Beweis, analytische Potenz einer Funktion
• Homotopie, Beispiel, Homotopieklassen, Äquivalenzrelation, homotop, Fundamentalgruppe
• Monodromiesatz mit Beweis

Dieses Sortierverfahren wird meist im Kontext binärer Bäume eingeführt; dies ist dadurch begründet, dass der natürliche Definitionsbereich der besonderen Datenstruktur "Heap" ein binärer Baum ist. Dennoch wendet man in der Praxis den Sortieralgorithmus Heapsort für gewöhnlich auf normalen Arrays an.

Die Methode des Sortierens durch direkte Auswahl beruht auf dem wiederholten Auslesen des kleinsten Schlüssels aus (den restlichen) n Elementen. Auf einem ähnlichen Prinzip basiert der Haepsort, doch die zu Grunde gelegte Datenstruktur Heap (zu deutsch Haufen) behält mehr Informationen und ist deshalb deutlich schneller als die 'normale' Variante des Sortierens durch direkte Auswahl.

Der Inhalt dieses Dokuments behandelt überwiegend die heuristische Vorgehensweise des Algorithmus. Es werden viele Beispiele durchexerziert und erklärt. Am Rande wird auf die Kosten und evtl. Beweis der Korrektheit eingegangen. Die notwendigen Algorithmen für eine mögliche Implementation werden ausführlich dargestellt und hinterleuchtet.

Im Einzelnen werden behandelt:

• Vergleich mit naiven Sortierverfahren: Einfügen, Löschen, Suchen
• Definition, Heap-Bedingung, Minimums-Heap und Maximums-Heap, Alternative Formulierung der Heap-Bedingung für binäre Bäume, Beispiele
• Algorithmen: StelleHeapBedingungHer(), ShiftDown() ["versickern"], EntferneExtrema(), ErzeugeHeap() - konkrete Beispiele zu allen Algorithmen.
• Analyse des Heap-Sorts