Die Wahrscheinlichkeits-Theorie (=: W-Theorie) ist ein Teilgebiet der Mathematik, in der man die Gesetzmäßigkeiten zufälliger Ereignisse untersucht. Gemeinsam mit der Statistik bildet sie das mathematische Teilgebiet der Stochastik, wobei die W-Theorie das theoretische Fundament darstellt auf dem die Statistik ruht. Dabei erfährt die W-Theorie indirekt durch das Vordringen der Statistik in Bereiche wie der Technik, der Medizin, der Ökonomie oder der Psychologie immer mehr an Bedeutung. Direkte Anwendungen der W-Theorie können vor allem in der Physik (wie z.B. der Quanten-Mechanik) oder der reinen Mathematik gefunden werden; so basisert z.B. ein von P. Erdös eingeführtes Beweisverfahren, die sog. Probabilistische Methode, auf der W-Theorie. In dieser Arbeit werden wir maßtheoretische Grundlagen der W-Theorie herleiten, begründen und veranschaulichen. Kenntnisse aus der naiven Mengenlehre, Grundlegendes der Analysis (z.B. der Binomische Lehrsatz, Exponentialfunktion u.Ä.), ein gutes logisches Verständnis und das Interesse an der Materie sollten für eine erfolgreiche Bearbeitung dieses Dokumentes ausreichen. Das eingeschlagene Niveau wird dem einer Vorlesung an einer (deutschen) Universität entsprechen. Allerdings werden wir darüber hinaus versuchen das Verständnis mit Hilfe von Beispielen und erklärenden Kommentaren zu festigen. Im Einzelnen werden behandelt:

• Grundlagen: Potenzmenge, Mengenfamlie, Partition, symmetrische Differenz, Gesetze von De Morgan, Limes superior, Limes inferior, obere Limes, untere Limes, isoton, antitone und monotone Kovnergenz, erweiterte reelle Zahlen, Urabbildung, Urbild, Faser.
• Zufallsexperiment, Ausgangsraum, Ausgang, (Elementar-)Ereignis, Komplementär-Ereignis, unmögliches und sicheres Ereignis, Ereignissystem, abgeschlossen gegenüber Mengenoperationen.
• Wahrscheinlichkeits-Maß (W-Maß), nichtnegativ, normiert, sigma-additiv, diskreter Wahrscheinlichkeits-Raum, Eigenschaften, Wahrscheinlichkeits-Funktion, Beispiele, induzierte W-Funktion, Binomialverteilung, Poissonverteilung, Gleichverteilung, Laplaceschen W-Begriff.
• Stetige Wahrscheinlichkeits-Räume, Maßproblem, Satz von Vitlali, Antinomie, Definition und Sätze zu (Mengen-)Halbringen, Ringen und Algebren.
• sigma-Algebren und sigma-Ringe, Messraum, Spur, allg. W-Räume, Erzeugendensysteme, von einem Mengensystem erzeugte sigma-Algebra, Raum der n-dimensionalen Figuren, Borel-Mengen, Borelsche Sigma-Algebra bzw. Borel-Körper, Erzeugung der offenen, geschlossenen und kompakten Mengen, Inhalt, allg. Maß.
• Fortsetzung und Eindeutigkeit von Maßen, 1. und 2. Fortsetzungssatz für W-Maße, sigma-endlich, Nullmenge, Borel-Lebesgue-Maß, Bewegungsinvarianz.
• Zufallsvariablen und messbare Abbildungen, Eigenschaften, Urbild, Messbarkeits-Kriterium, Definition Zufallsvariable, Indikatorfunktion, charakterisitische Funktion, Bild und Bildmaß, Wahrscheinlichkeits-Verteilung.

In diesem Dokument werden wir uns der Mengenlehre und somit unmittelbar auch dem Unendlichen widmen. Beide Themen sind nicht nur mathematischer sondern auch philosophischerNatur. Der Schöpfer der Mengenlehre Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor (1845-1918) hat selbst lange Zeit als Mathematiker und Philosoph gearbeitet und publiziert. Will man die Mengenlehre verstehen, so kommt man nicht umhin sich mit der Unendlichkeit vertraut zu machen. In unserer Alltagswelt sind jedoch sämtliche Dinge endlich, wie also soll man als endliches Wesen die Unendlichkeit begreifen?

Das Genie Georg Cantor hat einen Weg ins Paradies „Mengenlehre“ gefunden und dennoch wurden seine überragenden Leistungen erst postum geehrt. Zu Lebzeiten stieß Cantor überwiegend auf Unverständnis und Missachtung. In diesem Manuskript werden wir zwei große Entdeckungen Cantors unter die Lupe nehmen: zum Einen die Kardinal- und zum Anderen die Ordinalzahlen.

Die von Cantor gegebene Definition einer Menge werden wir direkt im Anschluss studieren und deren Unschärfe an Hand von Antinomien erläutern. Im Anschluss betrachten wir das wohl bekannteste und wichtigste Axiomensystem der Mengenlehre ZFC. Auf diesem mathematischen Fundament, der axiomatischen Mengenlehre, werden wir Ordnungen einführen und genauer untersuchen. Ordnungen spielen eine wesentliche Rolle im Zusammenhang mit Kardinal- und Ordinalzahlen und darüber hinaus. Wir werden viele wunderschöne Beweise und Sätze, wie z.B. die Diagonalargumente von Cantor oder den Satz von Schröder & Bernstein, kennenlernen, die zum Teil auch im „BUCH der Beweise“, [2] enthalten sind.

Obwohl auch anspruchsvolle Sätze angeführt und bewiesen werden benötigt man für das Verständnis dieses Dokuments nur recht wenig Vorwissen. Lediglich Grundlegendes aus der Mengenlehre sollte man parat haben. So sollte einem klar sein, was man z.B. unter der Vereinigung oder dem Durchschnitt von Mengen versteht. Ferner sollten einem die naiven Defintionen der wichtigsten „Zahlenbereiche“, wie z.B. die Menge der natürlichen, der ganzen, der rationalen und der reellen Zahlen (die „Zahlengerade“) bewusst sein.  Die Menge der natürlichen Zahlen werden wir mengentheoretisch weiter unten einführen. Im Einzelnen werden behandelt:

• Definition von Cantor des Begriffs Menge; Mannigfaltigkeitslehre; Objekt;Eigenschaften; Antinomie von Betrand Russel, rasiert sich der Barbier selbst?; Menge aller Mengen, die sich nicht selbst als Element enthalten; „Ich lüge mit diesem Satz“; Antinomie von Burali-Forti: Die Gesamtheit aller Ordinalzahlen ist keine Menge; Antinomie von Cantor: Die Gesamtheit aller Kardinalzahlen ist keine Menge; echte Klasse.
  
• Axiomatische Mengenlehre: Zermelo, Fraenkel,ZFC: Existenz der leeren Menge, Extensionalitätsaxiom, Paarmengenaxiom, Vereinigungsmengenaxiom, Potenzmengenaxiom, Aussonderungsaxiom, Ersetzungsschema, Unendlichkeitsaxiom, Fundierungsaxiom, Auswahlaxiom.
  
• Ordnungen auf Mengen: Teilordnung, Halbordnung, partieller Ordnung oder Ordnungsrelation, Reflexivität, Antisymmetrie, Transitivität, halbgeordnete Menge, vergleichbar, unvergleichbar, total geordnet oder linear geordnet, Trichotomie, Beispiele, Lemma von Zorn, (triviales) Intervall ,  x bedeckt y, total geordnete Teilmenge, Kette der Länge n, unterteilbare Kette, maximale Kette.
• Unendliche Mengen und Kardinalzahlen: gleiche Kardinalzahl, leiche Mächtigkeit oder die gleiche Kardinalität; n-Menge; Definition abzählbare Menge und überabzählbare Menge; von gleicher Kardinalzahl; Hilberts Hotel; Zimmer und Gäste als Veranschaulichung einer bijektiven Abbildung; Dedekinds Definition einer unendlichen Menge; Äquivalenzrelation gleich mächtiger Mengen; Kardinalzahl;
  
• Abbzählbar unendliche Mengen: Ganze Zahlen sind abzählbar; (erstes und zweites) Diagonalarument von Cantor; Cantorsche Paarungsfunktion; Jede Vereinigung von abzählbar vielen abzählbaren Mengen M_k ist wieder abzählbar; eleganter Beweis der Abzählbarkeit der rationalen Zahlen von N. Calkin und H. Wilf; Hyperbinärdarstellung; Überabzählbare Mengen: Die Menge der reellen Zahlen R ist nicht abzählbar; Diagonalargument; Kontinuum; Gleichmächtigkeit aller Intervalle in R; Die Menge R² aller geordneter Paare von reellen Zahlen (die reelle Ebene) hat dieselbe Größe wie R.
  
• „Größer“ und „Kleiner“ bei Mächtigkeiten: Aleph; Mächtigkeit der natürlichen Zahlen; Menge M echt kleiner ist als eine Menge N; |M| kleiner oder gleich |N|; Totalordnung der Kardinalzahlen; Satz von von Schröder & Bernstein; Unendliche Mächtigkeiten: Für jede nicht leere Menge M ist deren Potenzmenge echt mächtiger als M selbst; Seien M und N Mengen gleicher Mächtigkeit, dann gilt: Ist M unendlich, so auch N; 
• Von Ordinalzahlen: mengentheoretische Einführung der natürlichen Zahlen; Nachfolger; Nachfolgermenge;Prinzip der vollständigen Induktion; kleinste Nachfolgermenge ω ;Jedes Element einer natürlichen Zahl n ist auch eine echte Teilmenge von n; Enthaltensein und Teilmengen sind für natürliche Zahlen äquivalent; transitive Mengen; Ordnungstypus; Fundamentalsatz über W(α);
  
• Wohlordnungen:natürlichen Zahlen ist eine wohlgeordnete Menge; absteigende Kettenbedingung (DCC); Wohlordnungssatz von Zermelo; ordnungsisomorph; ordnungstreue Abbildung, gleich geordnet; ähnliche, gleichlange Wohlordnungen;die Ordnung auf der Menge der Wohlordnungen; Anfangsstück einer Wohlordnung; kürzer als bei Wohlordnungen; Vergleichbarkeitssatz für Wohlordnungen;
  

Die Theorie der Unabhängigkeitssysteme wurde bereits Anfang der 1930er Jahre von B.L. van der Waerden in seiner legendären zweibändigen Reihe Moderne Algebra behandelt; allerdings von einer rein algebraischen Warte aus. Im September des Jahres 1934 publizierte die American Mathematical Society eine Arbeit von Hassler Whitney mit dem Titel On the Abstract Properties of Linear Dependence. Diese Arbeit markiert die eigentliche Geburtsstunde der Theorie der allgemeinen Unabhängigkeitssysteme. Hassler Whitney schlug damals den Namen „Matroid“ vor, da er allgemeine Unabhängikeitssysteme mit Hilfe von Matrizen (oid [zu griech. -oiedes = ähnlich]) definierte.

Im zweiten Abschnitt Präliminarien werden wir die wichtigsten Definitionen und Sätze aus der linearen Algebra, der Graphentheorie und der Mengenlehre wiederholen. Im darauffolgenden Abschnitt Matroide wird der zentrale Begriff des gesamten Dokuments definiert und veranschaulicht. Dazu behandeln wir die erste wichtige Klasse von Matroiden, die so genannten Vektormatroiden. Ein wesentliches Charakteristikum von Matroiden ist, dass diese auf viele äquivalente Arten definiert werden können (sie sind kryptomorph). Im vierten Abschnitt werden wir die einige davon kennenlernen. Im vorletzten Abschnitt werden wir ein, nicht nur für die Matroidtheorie, wichtiges Prinzip kennenlernen – die Dualität. Schließlich untersuchen wir noch im letzten Abschnitt, wie Verbände und Matroide zusammenhängen.

Im Einzelnen werden behandelt:

• Lineare Unabhängigkeit: Definition, Herleitung und äquivalente Chrakterisierung, überflüssige Vektoren, Reduzierung, Beweis.
• Graphentheorie: kartesische (direkte) Produkt, Menge der geordneten Paare von Elementen, erste und zweite Element, ungeordnete Paare, ungerichteter Graph, Knoten, Kanten, Kanteninzidenzabbildung, Knoten v und Kante k heißen inzident, Adjazenz für Knoten und Kanten, Knotengrad, Kantengrad, Knoten- bzw. Kantengradabbildung, Schlinge, parallele Kanten, einfacher Graph, Beispiele, Kantenfolge der Länge n, verbindbar, zusammenhängend oder verbunden, unzusammenhängend, Untergraph oder Teilgraph, erzeugte Untergraph, Kograph, Komponente, Rang, Kantenzug, Kantenweg oder kurz Weg, geschlossene Kantenfolge, geschlossener Kantenzug, Kantenkreis oder kurz Kreis, Baum, maximal kreislos, minimal zusammenhängend.
• Ordnungen und Verbände: Teilordnung, Halbordnung, partieller Ordnung oder Ordnungsrelation, Reflexivität, Antisymmetrie, Transitivität, halbgeordnete Menge, vergleichbar, unvergleichbar, total geordnet oder linear geordnet, Trichotomie, Beispiele, maximales Element, minimales Element, obere Schranke von M, untere Schranke von M, nach oben beschränkt, nach unten beschränkt, Infinum, Supremum, Nullelement, Einselement der Halbordnung, Lemma von Zorn, (triviales) Intervall , Atom, Coatom, x bedeckt y, total geordnete Teilmenge, Kette der Länge n, Antikette, unterteilbare Kette, maximale Kette, Höhe eines Elements, Jordan-Dedekindsche Kettenbedingung auf einer Halbordnung, Hasse-Diagramm, Beispiele, Vereinigung und Schnitt (meet and join) auf einer Halbordnung, (vollständiger) Verband, atomarer Verband, Potenzmenge mit Inklusion ist Verband, Boolesche Algebra.
• Matroide: Definition mit Hilfe der Menge aller unabhängigen Mengen, erblich, hereditär, Ergänzungssatz, unabhängig, abhängig, Beispiele, triviale Matroide, Matroide aus Vektorräumen, Vektormatroiden, Isomorphismus zwischen Matroiden, darstellbare bzw. repräsentierbare Matroide, Beweise, Matrizen, Matrix.
• Axiomatik der Matroide: Axiome des Basissystems, Basis, Gleichmächtigkeit zweier Basen eines Matroids, Basis-Axiome, durch Basissystem eindeutig bestimmter Matroid, uniforme Matroid, freie Matroid, Axiome des Zirkuitsystems, Kreise eines Matroids, minimal abhängig, Kreis oder Zirkuit, Zirkuitsystem, Länge eines Kreises, graphische Matroide, Beispiele, durch Menge aller Kreise bestimmter Matroid, Kreis-Axiome, schwaches Kreiseliminationsaxiom, starkes Kreiseleminationsaxiom, Fundamentalkreise eines Matroids, Fundamentalkreis zur Basis B und
  dem Element x, Kreismatroide aus Graphen, Kreismatroid oder Polygonmatroid, Axiome der Rangfunktion, lineare Hülle, Abschlussoperator oder Hüllenoperator, extensiv, isoton und idempotent, Rangfunktion eines Matroids, Reduktion von, Löschen von, Rang von, Rangfunktion r ist nicht negativ und subkardinal, sie ist monoton und submodular, Abschlussoperator und die Rangfunktion, durch Rangfunktion eindeutig bestimmter Matroid, Axiome des Abschlussoperators, Steinitz-MacLane-Austauscheigenschaft, Rangfunktion bildet Hüllenoperator, Unterräume, abgeschlossenen Mengen, Punkte, Linien, Ebenen, Hyperebenen, Erzeugendensystem von M, Charakterisierung von Erzeugendensystemen, Basen und Hyperebenen durch den Rang, Restriktion/Reduktion eines Matroids, Kreismatroide und der Abschluss.
• Dualität und Matroide: Definition und Beispiele, Existenz des „dualen“ Matroiden, Dual von M oder den zu M dualen Matroiden M*, Cobasen, Cokreise, Cohyperebenen, Corang, counabhängig, Attribute eines Duals, Zusammenhang zwischen M und dessen Dual M*, Rangformel für duale Matroide, Clutter und Blocker, Clutter (oder Antikette), komplementären Clutter, Eigenschaften eines Blockers, Clutter und Hyperebenen.
• Unterraumverbände von Matroiden: Unterräume eines Matroids bilden einen (geometrischen) Verband, Beispiel, Fano-Matroid, Fano-Ebene, projektive Ebene, semimodular.
  

Zu den wichtigsten algebraischen Konstrukten gehören, neben den Klassikern wie Gruppe, Ring, Körper und Vektorraum, auch und inbesondere die Moduln. Die Theorie der Moduln hat sich als Erweiterung der Ringtheorie aus der Darstellungstheorie von Gruppen, Ringen und Algebren entwickelt. In ihr finden die Methoden der Ringtheorie und der linearen Algebra Anwendung. An den vielen Beispielen werden wir sehen, dass der Begriff des Modul über einem Ring viele der algebraischen Strukturen verallgemeinert.

Der Begriff des Modul ist Grundlage der sog. Homologischen Algebra. Historisch steht der heutige Begriff am Ende einer langen Entwicklung, die damit begann, dass Gauß die Bezeichnung a ≡ b [mod m] –- gelesen: a kongruent b modulo m –- einführte für die Aussage, dass a − b durch m teilbar ist (a, b,m ganze Zahlen und m > 0). Als „Modul“ wurde zunächst die Zahl m, später die Menge aller ganzzhaligen Vielfachen von m, also die Teilmenge (bzw. das Ideal) bezeichnet.

Einige Ergebnisse der linearen Algebra können leicht modifiziert für bestimmte Moduln angewendet werden. Es ist sicher hilfreich diese analogen Kenntnisse zunächst in der linearen Algebra zu studieren. Ferner sollte man Elementares über Gruppen und Ringe wissen, d.h.Worte wie Normalteiler, Ideal oder Ähnliches sollten keine Fremdwörter sein. Dieses Dokument ist als ausführliche Einführung in die Theorie der Moduln zu verstehen. Dabei bezieht sich das ausführlich nur auf die bahandelten Punkte, nicht jedoch auf die Gesamtheit der Modultheorie. Zur Modul- bzw. Ringtheorie existieren ganze Werke, deshalb können wir innerhalb dieses Dokuments nur an der Oberfläche kratzen. Die vorkommenden Sätze, Lemmata und Beispiele habe ich so gewählt, dass wichtige weiterführende Themen, wie exakte Sequenzen, freie oder projektive Moduln, im Anschluss ohne Probleme studiert werden können.

Im Einzelnen werden behandelt:

• Definition: (unitäre) R-Linksmodul und R-Rechtsmodul; R-Bimodul, innere und äußere Verknüpfung; strenge Notation; K-Modul ist ein K-Vektorraum; nicht jedes Modul ist ein Vektorraum;
• Beispiele zu Moduln; abelsche Gruppe G ist Z-Modul, ausführliche Beweise; Ring R über sich selbst ist ein Modul; K ein Schiefkörper; triviale Moduln; abelsche Gruppe mit Endomorphismenring als Modul; lineare Abbiludng eines Vektorraums zusammen mit Polynomring K[X] als Modul;
• Charakterisierung von Moduln; Modul M ist im wesentlichen dasselbe wie ein Ring-Homomorphismus von R in End(M); Beweisverfahren der homologischen Algebra; Erweiterung bzw. Fortsetzung eines Homomorphismus auf R[X]; Beispiele;
• Untermoduln; Untergruppenkriterium; Beispiele; zyklischer Untermodul; trivialen Untermoduln; induzierte äußere Verknüpfung; Zusammenhang mit Homomorphismen;
• Einfache, minimale und maximale Untermoduln; einfacher Modul; minimaler Untermodul; maximaler Untermodul; geordnete Menge; Beweisprinzip; Beispiele;
• Zyklizität und Erzeugendensysteme von Moduln; zyklisches bzw. monogenes Modul; Indexmenge; Familie von Untermoduln; System von Untermoduln; Durchschnitt von Untermoduln wieder Modul; von einer Teilmenge erzeugter Modul; Erzeugendensystem; endlich erzeugt; kleinste Untermodul; Menge aller endlichen Linearkombinationen; Zusammenhang zwischen Summe und Vereinigung von Untermoduln; Vereinigung von Untermoduln ist im Allgemeinen kein Untermoduln; Menge aller endlichen Linearkombinationen; größte Untermodul, dass alle Untermoduln enthält; Inklusion als Ordnungsrelation;
• Faktor-Moduln von M nach U; Definition und Beispiele; Herleitung der Verknüpfungen; induzierte Verknüpfung; R-Faktormodul; Wohldefiniertheit;
• Untermoduln mit Idealen konstruieren; M ein R-Modul, dann ist das Produkt aM mit a Ideal aus R selbst wieder ein Modul; M/aM ist Modul und mit maximalem Ideal a sogar ein Vektorraum über dem Körper R/a; zweiseitiges Ideal;
• Annullator und Torsionselemente; Annulator eines Modulelements bzw. eines Untermoduls sind Links- bzw. Rechtsideale; Torsionselement; torsionsfrei; treue Moduln; Torsionsuntermodul bzw. Torsionsmodul; Tor(M) ist ein Untermodul von M; M/T or(M) ist torsionsfrei; R/Ann(x) isomorph zu M;
• Modul-Homomorphismen; R-Modul-Homomorphismus (oder auch R-linear); Homomorphismengruppe Hom(M,N); Menge aller Modul-Homomorphismen; Beispiele: kanonische Projektion; Endomorphismen; Epimorphismen; Monomorphismen; Automorphismen; grundlegende Rechenregeln mit Morphismen; Kern des Homomorphismus und Bild des Homomorphismus sind Untermoduln; Modul-Homomorphismus ist injektiv genau dann, wenn Kern gleich {0}; Kokern und Kobild eines Homomorphismus; Homomorphiesatz; Erster und zweiter Isomorphiesatz; Produktzerlegung von Homomorphismen; verallgemeinerung des Homomorphiesatzes; zerlegbarer Endomorphismus und zerlegbarer Monomorphismus; Zusammenhänge zwischen Bild, Kern, Surjektivität, Injektivität und der direkten Summe;
• Direkte Produkt und direkte Summe von Moduln; Summe der Untermoduln; innere und äußere direkte Summe; Definition und äquivalente Charakterisierungen; direktes Komplement; direkter Summand; direkt unzerlegbar; Zusammenhang zwischen direkter Summe und direktem Produkt; endliche/unedliche Indexmenge; Projektion und Injektion und Zusammenhang zum direkten Produkt bzw. der direkten Summe; endlich erzeugt und endlich koerzeugt; Charakterisierung maximaler Untermoduln;
• Freie Moduln und Basen von Moduln; Moduln besitzen im Allgemeinen keine Basis; Beispiele;Linearkombination; freie bzw. linear unabhängige Mengen, Erzeugendensyteme; Basis; Kroneckerdelta (auch Kroneckersymbol); freies R-Modul; äquivalente Charakterisierungen; kommutative Ringe mit 1 und M frei, dann haben je zwei Basen dieselbe Mächtigkeit; maximales Ideal; Beweisprinzip; Zornsche Lemma und Auswahlaxiom; Verwendung; Jeder Vektorraum V über einem Schiefkörper K besitzt eine Basis; Ist M ein R-Modul mit kommutativen R und Einselement 1, dann existiert zu jedem Modulelement x genau ein Modul-Homomorphismus, so dass f(1)=x gilt; universelle Eigenschaft des direkten Produkts und daraus generierter Modul-Homomorphismus; Zusammenhang zwischen linearer Unabhängigkeit, Erzeugendensystem, Basis und einem Modul-Homomorphismus; Beispiele.