Nilpotente Matrizen bzw. Endomorphismen sind sehr wichtige Konstrukte nicht nur für die Lineare Algebra auch bspw. für die Darstellungstheorie.
In der Linearen Algebra werden nilpotente Endomorphismen zielführend für die Jordansche Normalform eingeführt. Eine Jordansche Normalform setzt sich lax formuliert aus einem nilpotenten und einem diagonalisierbaren Teil zusammen.
Im Einzelnen werden behandelt:- Definitionen: Nilpotente Matrix; nilpotente Endomorphismen; Nilpotenzindex; Beispiele;
- Charakterisierung von nilpotenten Matrizen bzw. Matrizen; f ist genau dann nilpotent, wenn die zugehörige Matrixdarstellung nilpotent ist; eine Matrix A ist genau dann nilpotent und diagonalisierbar, wenn A die Nullmatrix ist; A ist genau dann nilpotent, wenn das charakteristische Polynom von A gerade die Form Tn ist; Ist A nilpotent, dann hat A nur 0 als Eigenwert; Ist A nilpotent, dann auch das Transponierte von A; Ist die Matrix A nilpotent und B zu A ähnlich, dann ist auch B nilpotent.
- Blockdiagonalmatrizen; direkte Summe von Matrizen; Beispiele; Determinanten von Blockdiagonalmatrizen; Charakteristische Polynom von Blockdiagonalmatrizen; Minimalpolynom von Blockdiagonalmatrizen; Partition p von n in s Teile; duale Partition; Beispiele;
- Nilpotente Normalform zur Partition p; Beispiel; Ähnlichkeit von nilpotenten Matrizen; Ähnlichkeit von nilpotenten Normalformen; Filtrierung von V bezüglich des Endomorphismuses; Faktorräume; Rangpartition eines nilpotenten Endomorphismus;
- Hauptsatz über nilpotente Endomorphismen
Nilpotente Endomorphismen und Matrizen
