Jeder quadratischen Matrix bzw. jedem Vektorraum-Endomorphismus können zwei verwandte Polynome zugeordnet werden. Diese Polynome, namentlich sind dies das Minimalpolynom und das charakteristische Polynom, bilden die Grundlage für weite Teile der Linearen Algebra und sind deshalb von entscheidender Bedeutung.

Doch auch in der Algebra spielt das Minimalpolynom μ eine wichtige Rolle. Dort stößt man bei so genannten Körpererweiterungen auf dieses besondere Polynom.

Im Einzelnen werden behandelt:

• Obere Schranke des Grades für das Minimalpolynom "mu" ist n², Herleitung, eingesetzt ergibt es gerade die Nullmatrix 0.
• Definition; Minimalpolynom; normiertes Polynom kleinsten Grades; Einsetzung von Matrizen in Polynome; legitim, da Körper als Unterring des Polynomrings aufgefasst werden kann; Beispiele; Eigenschaften des Minimalpolynoms: Eindeutigkeit, teilt jedes andere Polynom p für das p(A)=0 gilt.
• Definition; Herleitung des Charakteristischen Polynoms; charakteristische Gleichung; Spur einer Matrix; Koeffizienten des charakteristischen Polynoms; Eigenschaften des charakteristischen Polynoms; Beipsiele;
• Satz von Cayley-Hamilton; Durch Einsetzen einer Matrix in ihr charakteristisches Polynom erhalten wir die Nullmatrix; Das Minimalpolynom μ teilt das charakteristische Polynom; Verfahren um das Minimalpolynom zu bestimmen; Beschränkung des Grades von μ auf maximal n; Charakteristische Polynom teilt n-te Potenz des Minimalpolynoms μ.
• Minimalpolynom und charakteristische Polynom haben dieselben irreduziblen Faktoren und dadurch dieselben Nullstellen.

Minimalpolynom und das Charakteritisches Polynom einer Matrix