Ist eine Zahl durch eine andere teilbar oder nicht?
Fast alle Themen der elementaren Zahlentheorie sind Variationen dieses Themas oder wurden zumindest durch diese Fragestellung motiviert.
Untersucht man das Teilbarkeitsproblem näher so stößt man unweigerlich auf die Bausteine der natürlichen bzw. ganzen Zahlen, den Primzahlen. Zum Einen können Primzahlen als Spezialfall von Seiten der Algebra (Primelemente) betrachtet werden, zum Anderen kann man diese elementar über den zahlentheoretischen Zugang studieren. In diesem Dokument werden wir den letzteren Weg wählen.
In alt bewährter Manier werden viele Beispiele zur Veranschulichung aufgeführt; ferner werden Beweise sehr ausführlich behandelt.
Im Einzelnen werden behandelt:
- Das Teilbarkeitsproblem, Voraussetzungen und Überblick.
- Prinzip vom kleinsten Element, Prinzip der vollständigen Induktion, Beweis der logischen Äquivalenz bzw. Zusammenhang beider Prinzipien.
- Teilbarkeit und der Ring Z der ganzen Zahlen, Verknüpfungen Addition, (Subtraktion), Multiplikation, (Division), ganzzahlige Division, a teilt b, Beispiele, Integritätsring, aufgehende Zahl, Vielfaches, Lösen linearer Gleichungen ax-b=0 über Z, Rechenregeln für die ganzzahlige Division und Beweise, triviale Teiler, echte Teiler, absolute Betrag, Abschätzungen für Zahlen a|b.
- Division mit Rest, Beweis der Existenz und Eindeutigkeit, Quotienten, Rest bei der Division, modulo, Modul, Rest, a kongruent b, Kongruenz, Modulus, Äquivalenzrelation für Restklassenringe bzw. Restklassen.
- Primzahlen, Definition, zusammengesetzte Zahlen, Charakterisierung der Primzahlen, Unzerlegbarkeitseigenschaft, Primeigenschaft, Einheiten 1 und 0 der Addition und Multiplikation, Existenzsatz des kleinsten Teilers einer natürlichen Zahl der eine Primzahl ist, Unendlichkeit der Primzahlen, Satz von Euklid, Euklidscher Beweis, Konstruktionsverfahren von Euklid am Beispiel, Abschätzungen für Primzahlen, Fundamentallemma, p|ab dann folgt p teilt einen der beiden Faktoren.
- Hauptsatz der elementaren Zahlentheorie, Primfaktoren, Primfaktorzerlegung, Primzerlegung, Eindeutigkeit der Primzerlegung, Existenz der Primzerlegung, jede natürliche Zahl ungleich 0 besitzt genau eine Primzerlegung, Hauptsatz für Z und N.
Primzerlegung in Z
